题目

直线L过抛物线y²=2px（p≠0）的焦点,且与抛物线相交于A（x1,y1）和B（x2,y2）两点,求证 对于抛物线的任意给定的一条弦CD 直线L不是CD的垂直平分线

提问时间：2021-02-04

答案

焦点（p/2,0） 设过焦点的 直线方程为：y/(x-p/2)=1/n x= ny+p/2 代入抛物线方程
y^2=2p(ny+p/2) y^2-2pny-p^2=0 根据伟达定理；y1y2=-p^2 y1+y2=2pn
(2)因为C在准线上且AC平行X轴,所以AC垂直准线且C为垂足,设F为焦点,AC=AF
又设A（x1,y1) B(x2,y2) F(+p/2,0) C(-p/2,y1) 原点O（0,0）,只要证明CO的斜率与BO的斜率相等,即证明CO与BO共线 CO的斜率K=(y1)/(-p/2) BO的斜率K°=y2/x2 x2=ny2+p/2
k°-k=y2/(ny2+p/2) +2y1/p=[2py2 +2y1(2ny2+p)]/[(2ny2+p)*p]
=[2p(y1+y2)+4ny1y2]/[(2ny2+p)*p]
=[2p(2pn)+4n(--p^2)]/[(2ny2+p)*p]=[4np^2--4np^2]/[(2ny2+p)*p]=0
即K°=K 所以B,C和抛物线的顶点共线.