题目

已知焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为y±

3

x＝0，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．

提问时间：2021-02-03

答案

设此双曲线的方程为y²-3x²=k（k≠0），
当k＞0时，a²=k，b²=

k

3

，c²=

4

3

k，此时焦点为（0，±

4 3 k

），
由题意得：3=

4 3 k

2

，解得k=27，双曲线的方程为y²-3x²=27；
当k＜0时，a²=-

k

3

，b²=-k，c²=-

4

3

k，此时焦点为（±

− 4 3 k

，0），
由题意得：3=

−4k

2

，解得k=-9，双曲线的方程为y²-3x²=-9，即3x²-y²=9．
∴所求的双曲线方程为为y²-3x²=27或3x²-y²=9．

依题意可设此双曲线的方程为y²-3x²=k（k≠0），利用焦点到渐近线的距离为3求得k即可．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：本题考查双曲线的简单性质，据题意设双曲线的方程为y²-3x²=k（k≠0）是捷径，考查待定系数法与分类讨论思想，属于中档题．