题目

△ABC是⊙O的内接正三角形，P是

BC

上一点．探索PA与PB+PC之间的数量关系，并说明理由．

提问时间：2021-02-02

答案

PA=PB+PC．
理由如下：如图，由圆周角定理得，∠BAE=∠BCP，∠APB=∠ACB=60°，
在PA上截取PE=BP，则△PBE是等边三角形，
所以BE=PE=PB，
∵∠AEB=180°-60°=120°，
∠CPB=120°，
∴∠AEB=∠CPB=120°，
∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC，
在△ABE和△CBP中，

∠BAE＝∠BCP ∠AEB＝∠CPB AB＝AC

，
∴△ABE≌△CBP（AAS），
∴AE=PC，
∵PA=AE+PE，
∴PA=PB+PC．

作出图形，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BAE=∠BCP，∠APB=∠ACB=60°，在PA上截取PE=BP，判断出△PBE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BE=PE=PB，再求出∠AEB=∠CPB=120°，根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BC，然后利用“角角边”证明△ABE和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=PC，再根据PA=AE+PE等量代换即可得证．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，圆周角定理，作辅助线构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．