题目

同一平面中任意三个向量线性相关 证明

提问时间：2021-01-31

答案

设这三个向量为a,b,c.
（1）a,b,c共线.
若a=b=c=0,则∀x,y,z∈R,x,y,z≄0,xa+yb+zc=0,命题成立；
不妨设a,b,c≄0,令e=a/|a|,则b=(b∙e)e,c=(c∙e)e,于是：取x=1/(b∙e),y=1/(c∙e),z=-1/(2(a∙e)),则：xa+yb+zc=0,且x,y,z不全为0,命题成立；
（2）不妨设a,b不共线.
令e1=a/|a|,e2=(b-(b∙e1)e1)/|b-(b∙e1)e1|,于是：e1∙e2=0,且|e1|=|e2|=1.
以任意点为原点,e1,e2方向为x,y轴建立平面直角坐标系.
由c也在此平面中,存在m,n,使得：c=me1+ne2(即c的坐标为（m,n）).
于是：c=m/|a| a+n/|b-(b∙e1)e1| (b-(b∙a)a/(|a|)^2)
=(m/|a|-n(b∙a)/(|a^2||b-(b∙e1)e1|)) a + n/|b-(b∙e1)e1| b.
即：a,b,c线性相关.
综上：原命题成立.