题目

代数不等式1
设x、y、z∈R+,求证：x√[x/(1+yz)]+y√[y/(1+zx)]+z√[z/(1+xy)]≥3/√(1+xyz).

提问时间：2021-01-31

答案

题目有问题吧, 取x = y = z并趋于0, 则左端趋于0而右端趋于3, 不等式不能成立.
如果加上条件x+y+z = 3倒是不难证明.
首先, 不等式可化为x²/√(x+xyz)+y²/√(y+xyz)+z²/√(z+xyz) ≥ 3/√(1+xyz).
而由Cauchy不等式得:
(√(x+xyz)+√(y+xyz)+√(z+xyz))(x²/√(x+xyz)+y²/√(y+xyz)+z²/√(z+xyz)) ≥ (x+y+z)² = 9.
仍由Cauchy不等式得:
9(1+xyz) = (1+1+1)((x+xyz)+(y+xyz)+(z+xyz)) ≥ (√(x+xyz)+√(y+xyz)+√(z+xyz))²,
即3√(1+xyz) ≥ √(x+xyz)+√(y+xyz)+√(z+xyz).
故x²/√(x+xyz)+y²/√(y+xyz)+z²/√(z+xyz)
≥ 9/(√(x+xyz)+√(y+xyz)+√(z+xyz))
≥ 3/√(1+xyz),
即所求证.