题目

给定数列1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,……
则这个数列的一个通项公式是什么啊,一般方法我会,S=1,S=1+2+3+4,S=1+2+3+…+9,
故S=1+2+…+n²=n²(1+n²)/2
a=S-S=[n²(1+n²)/2]-(n-1)²[1+(n-1)²]/2
=2n³-3n²+3n-1
但是老师说有两种方法,一种是跟中间一项有关,可是我不会证明啊,希望各位大人帮帮我吧,谢谢!

提问时间：2021-01-30

答案

本题考查末项可能更简单些.
规律：第n项共2n-1个数相加,最后一个数=n²
n=1时,最后一个数=1=1²
假设当n=k(k∈N+)时,第k项的最后一个加数为k²,则第k+1项为从k²+1开始的2(k+1)-1项.
第k+1项的最后一个加数=k²+1+[2(k+1)-1]-1=k²+1+2k=(k+1)²,同样满足
k为任意正整数,因此对于任意正整数n,第n项为从(n-1)²+1一直加到n²,共2n-1项.
第n项=[(n-1)²+1+n²]·(2n-1)/2=(2n-1)(n²-n+1)
本题的方法不止一种,至少有4种,有兴趣的话,你可以自己再思考一下,就不详细写了.