题目

已知数列an 前n项和为sn.sn=2-2an
求证an为等比数列
an通向公式
an*sn的前n项和tn

提问时间：2021-01-30

答案

Sn=2-2an
则
S(n-1)=2-2a(n-1)
两式相减,
Sn-S(n-1)=2a(n-1)-2an
而Sn-S(n-1)=an
所以
an=2a(n-1)-2an
即an=2/3a(n-1)
所以an为以a1为首项,2/3为公比的等比数列
且首项为
S1=a1=2-a1
a1=1
则通项为an=(2/3)^(n-1)
Sn=(1-(2/3)^n)/(1-2/3)=3*(1-(2/3)^n)
所以,
an*Sn=(2/3)^(n-1)*3*(1-(2/3)^n)
=3*(2/3)^(n-1)-3*(2/3)^(2n-1）
=3*(2/3)^(n-1)-3*(2/3)(2/3)^(2n-2）
=3*(2/3)^(n-1)-2*(4/9)^n-1
则前一项为3为首项,2/3为公比的等比数列
后一项为2为首项,4/9为公比的等比数列
分开求：
前一项的和为：
3*（1-(2/3)^n)/(1-2/3)=9*（1-(2/3)^n)
后一项的和为：
2*（1-(4/9)^n)/(1-4/9)=18/5*（1-(4/9)^n)
则an*sn的前n项和tn=
9*（1-(2/3)^n)+18/5*（1-(4/9)^n)