题目

已知在平面直角坐标系xoy中,二次函数y=x2-bx+c(b>0)的图像经过点A(-1,b),与y轴相交于点B,且∠ABO的正切值
为1/3
1）求点B的坐标
2）求这个函数的解析式
3）如果这个函数图象的顶点为C,求证∠ACB=∠ABO

提问时间：2021-01-30

答案

1) 
二次函数 y=x²-bx+c 与y轴的交点B的坐标是（0,c)
AB的斜率是 c-b ,AB 的倾斜角为α  ,tanα=c-b
<ABO=180º-(90º-α)=90º+α
tan<ABO=tan(90º+α)=-cotα=-1/tanα=1/3
∴tanα=-3  即 c-b=-3  b=c+3
∵A点在抛物线上,
∴b=1+b+c
c=-1 b=2
∴B 点坐标是（0,-1）
2）
这个函数的解析式是 y=x²-2x-1
3)
抛物线的顶点坐标是C（1,-2）
AC的斜率是（2+2）/（1+1）=2
BC的斜率是（-1+2）/（1-0）=1 
tan<ACB=(2-1)/(1+2)=1/3
tan<ABO=1/3
而<ACB和<ABO 同是锐角
∴<ACB=<ABO