题目

【高数】使用拉格朗日辅助函数解答
求原点到曲面x^2+2y^2-3z^2=4的最小距离

提问时间：2021-01-30

答案

设原点到该曲面的距离为L,
考虑该距离的平方 L² 为目标函数 f(x,y,z)
则 f(x,y,z)=L²=x²+y²+z²
曲面方程化为 x²+2y²-3z²-4=0
设辅助系数为 a,则对应的拉格朗日辅助函数为
f(x,y,z,a)=x²+y²+z²+a(x²+2y²-3z²-4)
求偏导数如下（用d作偏导符号）：
df/dx=2x+2ax
df/dy=2y+4ay
df/dz=2z-6az
df/da=x²+2y²-3z²-4
令上述偏导数均等于0,即
df/dx=2x+2ax=0
df/dy=2y+4ay=0
df/dz=2z-6az=0
df/da=x²+2y²-3z²-4=0
根据前三个方程成立（a不能同时取两个值）,
应有x、y、z中的2个为0,另一个不为0
则有如下解
x不为0时,解为(±2,0,0,-1),
y不为0时,解为(0,±√2,0,-1/2),
z不为0时,无解,
由于所求解具有对称性,根据实际情形,
该解必对应最小值,
把解代入可得 L²=4 或 L²=2
所以,最小值是 L=√2
此时对应的最小值点为 (0,±√2,0).
【实际上,该曲面为单叶双曲面,根据几何意义容易求得最小值点,