题目

已知函数f(x)=x2-2alnx,其中a为正的常数.
(1)当a=1时,求f(x)的单调递减区间;(2)试判断函数y=f(x)的零点个数;(3)设G(x)=f(x)+m,若当x?[1/e,e]时,函数G(x)的图像恒在x轴的上方,求实数m的取值范围.

提问时间：2021-01-30

答案

(1) f(x)=x^2-2lnx
令f’(x)=2x-2/x=(2x^2-2)/x=0==>x=1,
x∈(0,1),f’(x)0,∴f(x)在x=1时取极小值
f(x)的单调递减区间为(0,1)
(2) f(x)=x^2-2alnx,令f’(x)=2x-2a/x=(2x^2-2a)/x=0==>x=√a
f(√a)=a-2aln√a=a-alna=0==>a=e
∴a∈(0,e)时,函数y=f(x)无零点,a=e时,函数y=f(x)有1个零点,a∈(e,+∞)时,函数y=f(x)有二个零点
(3) G(x)= x^2-2alnx+m,当x∈[1/e,e]时,函数G(x)的图像恒在x轴的上方
由(2)知a∈(0,e]时,函数y=f(x)无零点或有1个零点
则m>0时,x∈[1/e,e]时,函数G(x)的图像恒在x轴的上方