题目
如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,点M在CD上,DH⊥BM且与AC的延长线交于点E.求证:
(1)△AED∽△CBM;
(2)AE•CM=AC•CD.
(1)△AED∽△CBM;
(2)AE•CM=AC•CD.
提问时间:2021-01-29
答案
证明:(1)∵△ABC是直角三角形,
∴∠A+∠ABC=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°,
即∠MCB+∠ABC=90°,
∴∠A=∠MCB,
∵CD⊥AB,
∴∠2+∠DMB=90°,
∵DH⊥BM,
∴∠1+∠DMB=90°,
∴∠1=∠2,
又∵∠ADE=90°+∠1,∠CMB=90°+∠2,
∴∠ADE=∠CMB,
∴△AED∽△CBM;
(2)∵△AED∽△CBM,
∴AE:AD=CB:CM,
∴AE•CM=AD•CB,
∵△ABC是直角三角形,CD是AB上的高,
∴△ACD∽△CBD,
∴AC:AD=CB:CD,
∴AC•CD=AD•CB,
∴AE•CM=AC•CD.
∴∠A+∠ABC=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°,
即∠MCB+∠ABC=90°,
∴∠A=∠MCB,
∵CD⊥AB,
∴∠2+∠DMB=90°,
∵DH⊥BM,
∴∠1+∠DMB=90°,
∴∠1=∠2,
又∵∠ADE=90°+∠1,∠CMB=90°+∠2,
∴∠ADE=∠CMB,
∴△AED∽△CBM;
(2)∵△AED∽△CBM,
∴AE:AD=CB:CM,
∴AE•CM=AD•CB,
∵△ABC是直角三角形,CD是AB上的高,
∴△ACD∽△CBD,
∴AC:AD=CB:CD,
∴AC•CD=AD•CB,
∴AE•CM=AC•CD.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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