题目

A真包含于B为什么是充分不必要条件
最好能将所有子集与推出的关系论述一遍.

提问时间：2021-01-29

答案

在数学中,逻辑和集合是两个独立的分支,单独拿出它们任何一个,都够写本书的.
　　你所说的“充分必要条件”,是一种被称作“条件命题”的复合命题中的概念.简单来说,条件命题就是由假设连词（如：如果…就…、若…则…、只有…才…等）构成的复合句.
　　这种复合命题,都包括两个简单命题——即上面例子中,省略号所代表的句子.如果用数学符号表示,条件命题可记作：p→q；或（q←r）.所谓的“充分、必要条件”,就是基于条件命题定义的.
　　第一、所有这些“条件”,它们本身都是一个命题；
　　第二、任何“条件”都是相对而言的,它总涉及到两个命题,即：谁是谁的什么条件；
　　第三、不同的“条件”,决定了相关的两个命题间不同的逻辑关系；具体而言就是：由这两个简单命题所构成的某个条件命题的真假情况.这也就是各种条件的具体定义了,相信你是知道的.
　　你的问题的关键是这些“条件”与集合间的关系,那么你首先应该明白：所谓“什么条件”的逻辑问题,是怎么与集合问题建立联系的.关键就在于一点：
　　根据集合与元素的属于关系,可以构造命题；
（1）建立简单命题与集合间的联系：
对于一个集合A,和一个元素x,我们可以定义以下命题：
　　p：x∈A；
（2）建立条件命题与集合间的联系：
对于具有包含关系的两个集合A、B,有以下性质：
　　【A包含于B】当且仅当：【如果x∈A那么】x∈B；
根据（1）将上述性质符号化：
　　【A≤B】＜＝＞【p→q】；（≤：表示包含于）————————————①
显然,①式建立了条件命题与集合包含关系之间的联系.它可以用文字这样描述：
　　【A是B的“子集”】等价于【（某元素属于）A是（它属于）B的“充分条件”】；
同理,我们可以建立“真子集”与“充分不必要条件”间的联系：
　　【A真包含于B】当且仅当：【如果x∈A那么x∈B】并且【存在x∈B且x不∈A】；
其中,后半句【存在x∈B使得x不∈A】等价于：
　　【并非（如果x∈B那么x∈A）】；
整句话符号表示：
　　【A＜B】＜＝＞【p→q】且【并非（q→p）】；（＜：表示真包含于）————②
既然：
　　【q→p】表示：p是q的必要条件；
那么：
　　【并非（q→p）】就表示：p不是q的必要条件；
所以：
　　【A是B的“真子集”】等价于【（某元素属于）A是（它属于）B的“充分不必要条件”】；