题目

求函数y＝cos2x+sinx(|x|≤

π

4

)的最大值和最小值．

提问时间：2021-01-28

答案

由|x|≤

π

4

，得到-

π

4

≤x≤

π

4

，
设sinx=t，则t∈[-

2

2

，

2

2

]，
所以y=1-sin2x+sinx=-(t-

1

2

)2+

5

4

，t∈[-

2

2

，

2

2

]，
故当t=

1

2

即x=

π

6

时，ymax=

5

4

，
当t=-

2

2

即x=-

π

4

时，ymin=

1- 2

2

．

求出绝对值不等式的解集得出x的范围，根据正弦函数的图象与性质得到sinx的范围，设sinx=t，从而得到t的范围，利用同角三角函数间的基本关系把函数解析式化为关于sinx的式子，即关于t的二次函数，由t的范围，利用二次函数求最值的方法即可得到函数的最大值及最小值．

本题考点：同角三角函数间的基本关系；二次函数的性质．

考点点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，二次函数的性质，以及正弦函数的图象与性质，本题的思路是：利用同角三角函数间的基本关系把函数解析式化为关于sinx的二次函数，并求出自变量sinx的范围，利用二次函数的性质来解决问题．