题目

已知f（x）=2ˆx（x属于R）可以表示为一个奇函数g(x）于一个偶函数h（x)之和
若不等式ag（x）+h(2x）大于等于零对于x属于[1,2]恒成立,则实数a的取值范围为-----

提问时间：2021-01-28

答案

a∈[-17/6,3]∪[15/2,+∞)
依题意,g(x)+h(x)=2^x.（1）
∵g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x)
∵h(x)是偶函数,∴h(-x)=h(x)
∴g(-x)+h(-x)=h(x)-g(x)=2^(-x).(2)
(1)式和(2)式相加,得2h(x)=2^x+2^(-x),即h(x)=[2^x+2^(-x)]/2
代入（1）得,g(x)=2^x-h(x)=[2^x-2^(-x)]/2
∴ag(x)+h(2x)=a[2^x-2^(-x)]/2+[2^(2x)+2^(-2x)]/2≥0在x∈[1,2]恒成立
∴a[2^x-2^(-x)]+[2^(2x)+2^(-2x)]≥0在x∈[1,2]恒成立
令t=2^x,∴2^(-x)=1/t,当x∈[1,2]时,t∈[2,4]
∴原不等式化为a(t-1/t)+(t^2+1/t^2)≥0时,通过换元u=t-1/t将不等式转化为二次不等式u^2+au+2≥0,然后再去讨论.
（1）当对称轴在（3/2,15/4)内时,有3/2