题目

如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°，圆心C的坐标是 ___ ．

提问时间：2021-01-28

答案

连接AB．
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙C的直径，C是线段AB的中点；
由于四边形ABMO内接于⊙C，
∴∠BAO=180°-∠BMO=60°．
在Rt△ABO中，OA=4，∠BAO=60°，则OB=4

3

．
所以B（-4

3

，0）．
∵A（0，4），B（-4

3

，0），
∴C（-2

3

，2）．
故答案为：（-2

3

，2）．

连接AB，由于∠AOB是直角，根据圆周角定理可知AB必为⊙C的直径，即C是AB的中点，已知A点坐标，关键是求出B点的坐标．由图知：四边形ABMO是圆的内接四边形，因此内对角∠BAO、∠BMO互补，由此求得∠BAO的度数，进而可在Rt△BAO中，根据直角三角形的性质得到OB的长，从而确定点B的坐标，由此得解．

本题考点：圆周角定理；坐标与图形性质；解直角三角形．

考点点评：此题综合考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、直角三角形的性质以及坐标与图形性质等知识，正确地构造出直角三角形是解题的关键．