题目

已知二次函数f(x)=ax^2+bx满足条件 1.对任意x属于R,均有f(x-4)=f(2-x) 2.函数f(x)的图像与直线y=x相切 求
已知二次函数f(x)=ax^2+bx满足条件
1.对任意x属于R,均有f(x-4)=f(2-x)
2.函数f(x)的图像与直线y=x相切
求：当且仅当x属于[4,m]时,f(x-t)≤x恒成立,试求t m 的值

提问时间：2021-01-27

答案

1、先求f(x).
f(x-4)=f(2-x)
a(x-4)^2+b(x-4)=a(2-x)^2+b(2-x)
化简得(b-2a)x=3b-6a.
因为上式对于任意x均成立,所以b-2a=0,即b=2a.
因为f(x)与y=x相切(只有一个交点),且f(x)与y=x均过原点,所以原点就是切点.
f'(x)=2ax+b=2ax+2a.切点的斜率为1,所以1=2a 0 +2a,即a=1/2.
所以f(x)=1/2 x^2+x.
2、f(x-t)≤x
1/2(x-t)^2+(x-t)≤x
化简得x^2-2tx+t^2-2t≤0
因为当且仅当x属于[4,m]时,f(x-t)≤x.
所以4,m是方程x^2-2tx+t^2-2t=0的两根.
把4代入,得t^2-10t+16=0,解得t=2,t=8.
t=2时,把m代入,得m^2-4m=0,解得m=0(舍去),m=4.所以t=2,m=4.
t=8时,把m代入,得m^2-16m+48=0,解得m=4,m=12.
(m=4对于f(x-t)≤x也成立,但区间变成了一个点,所以不知道m=4该不该舍去.)