题目

已知双曲线mx²-y²=1（m＞0）的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B、C使得△ABC为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）
A. （1，3）
B. (1，

3

)
C. （1，2）
D. (1，

2

)

提问时间：2021-01-26

答案

如图所示：
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAX=45°设其中一条渐近线与X轴夹角为θ，则θ＜45°
即tanθ＜1
即

m

＜1
即0＜m＜1
又∵e2＝1+

b2

a2

＝1+m
∴1＜e²＜2
即1＜e＜

2

故选D

由已知中双曲线mx²-y²=1（m＞0）的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B、C使得△ABC为等腰直角三角形，我们易判断出AB边的倾斜角进而求出其斜率，利用双曲线的性质，我们易确定渐近线斜率的范围，结合已知中双曲线的方程，我们要以构造出关于m的不等式，解不等式即可得到答案．

本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：本题考查的知识点是双曲线的性质，其中根据双曲线的性质，判断出渐近线的斜率的取值范围是解答本题的关键．