题目

已知函数f（x）=ax²-2ax+2+b（a＞0）在区间[2，3]上的值域为[2，5]
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若关于x的函数g（x）=f（x）-（m+1）x在区间[2，4]上为单调函数，求实数m的取值范围．

提问时间：2021-01-25

答案

（Ⅰ）∵a＞0，∴所以抛物线开口向上且对称轴为x=1．
∴函数f（x）在[2，3]上单调递增．
由条件得

f(2)＝2 f(3)＝5

，即

2+b＝2 3a+2+b＝5

，解得a=1，b=0．　
故a=1，b=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，b=0．
∴f（x）=x²-2x+2，从而g（x）=x²-（m+3）x+2．       
①若g（x）在[2，4]上递增，则对称轴x＝

m+3

2

≤2，解得m≤1；
②若g（x）在[2，4]上递减，则对称轴x＝

m+3

2

≥4，解得m≥5，
故所求m的取值范围是m≥5或m≤1．

（Ⅰ）由f（x）的图象及对称轴可判断f（x）在[2，3]上递增，从而有f（2）=2，f（3）=5，联立即可解得a，b值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=x²-（m+3）x+2．分g（x）在[2，4]上递增、递减两种情况讨论，可得其对称轴与区间的位置关系，由此可得到不等式，解出即可．

本题考点：函数单调性的性质；二次函数的性质．

考点点评：本题考查二次函数的单调性及其应用，考查数形结合思想及分类讨论思想，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类问题的基础．