题目

怎么样求函数的不可导点?
例如求f(x)=(x^2-x-2)*|x^3-x|的不可导点.我看兰州大学版的高数上是这样解答的：f(x)=(x+1)|x+1|(x+2)|x||x-1|,所以不可导点是x=0,x=1,为什么是这样解啊?对于求函数不可导点就什么系统的方法么?（禁止复制粘贴网上的无厘头的回答!）

提问时间：2021-01-25

答案

这个问题需要你对可导的定义有准确的认识,可以说函数在一点的导数是由Δy/Δx,在Δx趋于0时的极限来定义的,如果极限不存在也就意味着不可导!你写出来的解答方法其实很好,实际就是告诉你将原函数做因式分解之后可以比较容易的看出相关点处的极限Δy/Δx是否存在.
首先可以判断的是,函数在它的不是零点的位置一定可导,这由初等函数性质可以直接得到,因此可能的不可导点就只有x=-1,0,1,2.而x=2这点,（这里你应该是抄错了正负号!）,在它的附近函数里的绝对值可以拿掉变为一个局部的初等函数,所以,这一点一定可导.
x=0,x=1这两点是一样的理解方式,f(x)=(x+1)|x+1|(x-2)|x||x-1|,含有|x|和|x-1|,以x=1为例：当x趋于1时,相应的Δx就趋于0了,也就是求极限[f(x)-f(1)]/(x-1),其中x趋于1,这个极限不存在,因为左右极限不相等!同理知道,0和1都是不可导的点.
至于x=-1,分析方法是一样的,这点相应的极限存在为0,所以可导.
此类问题都是用分析Δy/Δx的函数极限是否存在的方法判断可导与否,这样解释你理解了吗?