题目

已知{a_n}为单调递增的等比数列，且a₂+a₅=18，a₃•a₄=32，{b_n}是首项为2，公差为d的等差数列，其前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当且仅当2≤n≤4，n∈N^*，S_n≥4+d•log₂a_n²成立，求d的取值范围．

提问时间：2021-01-25

答案

（1）因为{a_n}为等比数列，所以a₃•a₄=a₂•a₅=32
所以

a2+a5=18 a2•a5=32

所以a₂，a₅为方程 x²-18x+32=0的两根；
又因为{a_n}为递增的等比数列，所以 a2=2，a5=16，q3=8，
从而q=2，
所以an=a2•qn-2=2•2n-2=2n-1；
（2）由题意可知：b_n=2+（n-1）d，Sn=2n+

(n-1)•n

2

d，
由已知可得：2n+

(n-1)•n

2

d≥4+(2n-2)d，
所以d•n²+（4-5d）•n-8+4d≥0，
当且仅当2≤n≤4，且n∈N^*时，上式成立，
设f（n）=d•n²+（4-5d）•n-8+4d，则d<0，
所以

f(1)<0 f(2)≥0 f(4)≥0 f(5)<0

⇒

d≤0 d<-3

⇒d<-3，
所以d的取值范围为（-∞，-3）．

（1）{a_n}为单调递增的等比数列，说明q＞1，又根据a₃•a₄=a₂•a₅=32，a₂+a₅=18，列出关于a₂，a₅的方程组，解出a₂，a₅，最后根据等比数列的性质，求出{a_n}
（2）由题意{b_n}是首项为2，公差为d的等差数列，写出S_n的表达式，代入Sn≥4+d•log2

a

2 n

，整理得d•n²+（4-5d）•n-8+4d≥0，按照当且仅当2≤n≤4，n∈N^*，列出不等式组，求出d的取值范围．

本题考点：等比数列的性质．

考点点评：本题考查等比数列的性质，等差数列的前n项和公式，整系数二次函数的性质，属于中档题．