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> 对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列{ann+1}的前n项和的公式是_....
题目
对正整数n,设曲线y=x
n
(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a
n
,则数列
{
a
提问时间:2021-01-24
答案
y′=nx
n-1
-(n+1)x
n
,
曲线y=x
n
(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2
n-1
-(n+1)2
n
切点为(2,-2
n
),
所以切线方程为y+2
n
=k(x-2),
令x=0得a
n
=(n+1)2
n
,
令b
n
=
a
n
n+1
=2
n
.
数列
{
a
n
n+1
}
的前n项和为2+2
2
+2
3
+…+2
n
=2
n+1
-2.
故答案为:2
n+1
-2.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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