题目

函数f(x)＝x+

a

x

提问时间：2021-01-24

答案

（Ⅰ）依题意有0＝2+

a

2

⇒a＝−4，
此时f(x)＝x−

4

x

，其定义域为x|x≠0，由f（-x）=-f（x）即f(x)＝x−

4

x

为奇函数；
（Ⅱ）函数g（x）=lg[f（x）+2^x-m]在区间[2，3]上有意义，即x−

4

x

+2x−m＞0对x∈[2，3]恒成立，得(x−

4

x

+2x)min＞m
令h(x)＝x−

4

x

+2x，x∈[2，3]先证其单调递增：
任取2≤x₁＜x₂≤3，
则h(x2)−h(x1)＝x2−

4

x2

+2x2−(x1−

4

x1

+2x1)＝

(x2−x1)(x1x2+4)

x1x2

+(2x2−2x1)
因为2≤x₁＜x₂≤3，则h（x₂）-h（x₁）＞0，
故h（x）在x∈[2，3]递增，
则h(x)＝x−

4

x

+2x的最小值h（2）=4，∴m＜4；
（III）设y₁=|f（x）|，y₂=t+4x-x²
结合图象得：
①当t＜-4时，正根的个数为0；
②当t=-4时，正根的个数为1；
③当t＞-4时，正根的个数为2．