题目

已知函数f（x）=ax⁴lnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数．
（1）试确定a，b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求c的取值范围．

提问时间：2021-01-24

答案

（1）由题意知f（1）=-3-c，因此b-c=-3-c，从而b=-3又对f（x）求导得f′(x)＝4ax3lnx+ax4•1x+4bx3=x3（4alnx+a+4b）由题意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12（2）由（I）知f'（x）=48x3lnx（x＞0），令f'（x）=0，解...

（1）因为x=1时函数取得极值得f（x）=-3-c求出b，然后令导函数=0求出a即可；
（2）解出导函数为0时x的值讨论x的取值范围时导函数的正负决定f（x）的单调区间；
（3）不等式f（x）≥-2c²恒成立即f（x）的极小值≥-2c²，求出c的解集即可．

本题考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，函数恒成立时条件的应用能力．