题目

如何证明：1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
我是文科的,别用理科知识答

提问时间：2021-01-24

答案

只需要知道2个初中公式就可以,这本来就是数学,不可能用历史或者地理的角度解答...
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 和1+2+...+n=n(n+1)/2
根据立方差公式得
n^3-(n-1)^3==3n^2-3n+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-1)^2-3(n-1)+1
.
.
2^3-1^3=3*2^2-3*2+1
1^3-0^3=3*1^2-3*1+1以上左右两端分别相加得
n^3=3[1^2+2^2+.n^2]-3[1+2+...n]+n
所以3[1^2+2^2+...n^2]=n^3+3[n(n+1)/2]-n=[2n^3+(3n^2+3n)-2n]/2
=(2n^3+3n^2+n)/2=n(n+1)(2n+1)/2
所以1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
用类似的方法可以求更高次幂的和.