题目

函数f(x)=(a+1)x^3+ax^2+12(a-1)x+b的图像关于原点成中心对称.
（1）求函数f(x)的解析式.
（2）求f（x）在[负无穷,-1]上的最值.

提问时间：2021-01-24

答案

(1) 函数f(x)=(a+1)x^3+ax^2+12(a-1)x+b的图像关于原点成中心对称.
所以函数为奇函数
f(0)=0 b=0
f(x)=-f(-x)
即(a+1)x^3+ax^2+12(a-1)x=-[-(a+1)x^3+ax^2-12(a-1)x]
(a+1)x^3+ax^2+12(a-1)x=(a+1)x^3-ax^2+12(a-1)x
2ax^2=0 a=0
所以f(x)=x^3+12x
(2) f'(x)=3x^2+12>0
所以f(x)在R上为增函数
则f（x）在[负无穷,-1] 为x=-1 时取得最大值
f(-1)=-13
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