题目

函数f(x)和函数g(x)=-x-2a,若对任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求实数a的值
f(x)=(4x^2-12x-3)/(2x+1),x∈[0,1]

提问时间：2021-01-23

答案

令t=2x+1,因为x∈[0,1],所以t∈[1,3],x=(t-1)/2,带入f(x)
f(x)=[4*(t-1)^2/4-12(t-1)/2-3]/t=(t^2-8t+4)/t=t+4/t-8
因为t∈[1,3],所以t+4/t大于等于2倍根号4=4.所以f(x)大于等于-4
将t=1和t=3带入f(x),得到f(x)最大为-3,所以f(x)∈[-4,-3],
即要使题设成立,必须g(x)∈[-4,-3],
所以-4≤-x-2a≤-3 (4-x)2≥a≥(3-x)/2
因为x∈[0,1],所以将x=0和1分别代入,得到a∈[3/2,3],和a∈[1,3/2],
所以a=3/2