题目
若函数y=f(x),如果存在给定的实数对(a,b),使得f(a+x)•f(a-x)=b恒成立,则称y=f(x)为“Ω函数”.
(1)判断下列函数,是否为“Ω函数”,并说明理由;
①f(x)=x3 ②f(x)=2x
(2)已知函数f(x)=tanx是一个“Ω函数”,求出所有的有序实数对(a,b).
(1)判断下列函数,是否为“Ω函数”,并说明理由;
①f(x)=x3 ②f(x)=2x
(2)已知函数f(x)=tanx是一个“Ω函数”,求出所有的有序实数对(a,b).
提问时间:2021-01-23
答案
(1)①若f(x)=x3 是“Ω函数”,则存在实数对(a,b),使得f(a+x)•f(a-x)=b,
即(a2-x2)3=b时,对x∈R恒成立 …(2分)
而x2=a2-
最多有两个解,矛盾,
因此f(x)=x3 不是“Ω函数”…(3分)
②若f(x)=2x是“Ω函数”,则存在常数a,b使得2a+x•2a-x=22a,
即存在常数对(a,22a)满足,因此f(x)=2x是“Ω函数”(6分)
(2)函数f(x)=tanx是一个“Ω函数”,
设有序实数对(a,b)满足,则tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立
当a=kπ+
,k∈Z时,tan(a-x)tan(a+x)=-cot2x,不是常数; …(8分)
因此a≠kπ+
,k∈Z,当x≠mπ+
,m∈Z时,
则有(btan2a-1)tan2x+(tan2a-b)=0恒成立,
所以btan2a-1=0且tan2a-b=0
∴tan2a=1,b=1
∴a=kπ+
,k∈Z,b=1 …(13分)
∴当x=mπ+
,m∈Z,a=kπ±
时,tan(a-x)tan(a+x)=cot2a=1.
因此满足f(x)=tanx是一个“Ω函数”的实数对(a,b)=(kπ±
,1),k∈Z…(14分)
即(a2-x2)3=b时,对x∈R恒成立 …(2分)
而x2=a2-
3 | b |
因此f(x)=x3 不是“Ω函数”…(3分)
②若f(x)=2x是“Ω函数”,则存在常数a,b使得2a+x•2a-x=22a,
即存在常数对(a,22a)满足,因此f(x)=2x是“Ω函数”(6分)
(2)函数f(x)=tanx是一个“Ω函数”,
设有序实数对(a,b)满足,则tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立
当a=kπ+
π |
2 |
因此a≠kπ+
π |
2 |
π |
2 |
则有(btan2a-1)tan2x+(tan2a-b)=0恒成立,
所以btan2a-1=0且tan2a-b=0
∴tan2a=1,b=1
∴a=kπ+
π |
4 |
∴当x=mπ+
π |
2 |
π |
4 |
因此满足f(x)=tanx是一个“Ω函数”的实数对(a,b)=(kπ±
π |
4 |
(1)根据新定义,列出方程恒成立,通过判断方程的解的个数判断出f(x)=x3 不是“Ω函数”,f(x)=2x是“Ω函数”;
(2)据题中的定义,列出方程恒成立,通过两角和差的正切公式展开整理,令含未知数的系数为0,即可求出a,b.
(2)据题中的定义,列出方程恒成立,通过两角和差的正切公式展开整理,令含未知数的系数为0,即可求出a,b.
函数恒成立问题.
本题考查理解题中的新定义、判断函数是否具有特殊函数的条件、利用新定义得到恒等式、通过仿写的方法得到函数的递推关系,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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