题目

定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x₀，有f（x₀）=x₀，则称x₀是f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B的中点C在函数g(x)＝−x+

a

5a2−4a+1

的图象上，求b的最小值．
（参考公式：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的中点坐标为(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)）

提问时间：2021-01-23

答案

（1）f（x）=x²-x-3，由x²-x-3=x，
解得x=3或x=-1，所以所求的不动点为-1或3．
（2）令ax²+（b+1）x+b-1=x，则ax²+bx+b-1=0①
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△=b²-4a（b-1）＞0，
即b²-4ab+4a＞0恒成立，
则△'=16a²-16a＜0，故0＜a＜1
（3）设A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）（x₁≠x₂），g(x)＝−x+

a

5a2−4a+1

，
又AB的中点在该直线上，所以

x1+x2

2

＝−

x1+x2

2

+

a

5a2−4a+1

，
∴x1+x2＝

a

5a2−4a+1

，
而x₁、x₂应是方程①的两个根，所以x1+x2＝−

b

a

，即−

b

a

＝

a

5a2−4a+1

，
∴b＝−

a2

5a2−4a+1

=-

1

( 1 a )2−4( 1 a )+5

=-

1

( 1 a −2)2+1

∴当a=

1

2

∈（0，1）时，b_min=-1

（I）将a=1，b=-2代入f（x）=ax²+（b+1）x+b-1 （a≠0），求出f（x），令f（x）=x，解方程求不动点即可；
（II）由ax²+（b+1）x+b-1=x有两个不动点，即ax²+bx+b-1=0有两个不等实根，可通过判别式大于0得到关于参数a，b的不等式b²-4ab+4a＞0，由于此不等式恒成立，配方可得b²-4ab+4a=（b-2a）²+4a-4a²＞0恒成立，将此不等式恒成立转化为4a-4a²＞0即可．
（III）由于本小题需要根据两个点A、B的坐标转化点关于线的对称这一条件，故可以先设出两点的坐标分别为A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）（x₁≠x₂），可以得到x₁+x₂=

a

5a2−4a+1

，由此联想到根与系数的关系，由（II）知，x₁、x₂应是方程ax²+bx+b-1=0的根，故又可得x₁+x₂=-

b

a

，至此题设中的条件转化为-

b

a

=

a

5a2−4a+1

，观察发现参数b可以表示成参数a的函数即 b＝−

a2

5a2−4a+1

，至此，求参数b的问题转化为求b关于a的函数最小值的问题．

本题考点：函数与方程的综合运用．

考点点评：本题考点是二次函数的性质，主要考查二次函数、方程的基本性质、不等式的有关知识，同时考查函数思想、数形结合思想、逻辑推理能力和创新意识．