题目
在△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=5cm,点D在BC上,且CD=3cm现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1cm/s的速度,沿AC向终点C移动;点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动.过点P作PE∥BC交AD于点E,连接EQ.设动点运动时间为x秒.
(1)用含x的代数式表示AE、DE的长度;
(2)当点Q在BD(不包括点B、D)上移动时,
设△EDQ的面积为y(cm2),求y与时间x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当x为何值时,△EDQ为直角三角形.
(1)用含x的代数式表示AE、DE的长度;
(2)当点Q在BD(不包括点B、D)上移动时,
设△EDQ的面积为y(cm2),求y与时间x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当x为何值时,△EDQ为直角三角形.
提问时间:2020-12-18
答案
(1)在Rt△ADC中,AC=4,CD=3,∴AD=5,
∵EP∥DC,∴△AEP∽△ADC,
∴
=
即
=
,∴EA=
x,DE=5-
x…(3分)
(2)∵BC=5,CD=3,∴BD=2,
当点Q在BD上运动x秒后,DQ=2-1.25x,
则y=
×DQ×CP=
(4−x)(2−1.25x)=
x2−
x+4…(6分)
即y与x的函数解析式为:y=
x2−
x+4,其中自变量的取值范围是:0<x<1.6.
(3)分两种情况讨论:
①当∠EQD=90°时,显然有EQ=PC=4-x,又∵EQ∥AC,∴△EDQ∽△ADC
∴
=
,DQ=1.25x-2
即
=
…解得x=2.5…(9分)
②当∠QED=90°时,
∵∠CDA=∠EDQ,∠QED=∠C=90°∴△EDQ∽△CDA
∴
=
,
Rt△EDQ斜边上的高:4-x,
Rt△CDA斜边上的高为:
.
∴
=
,
解得x=3.1.
综上所述,当x为2.5秒或3.1秒时,△EDQ为直角三角形.…(12分)
∵EP∥DC,∴△AEP∽△ADC,
∴
EA |
AD |
AP |
AC |
EA |
5 |
x |
4 |
5 |
4 |
5 |
4 |
(2)∵BC=5,CD=3,∴BD=2,
当点Q在BD上运动x秒后,DQ=2-1.25x,
则y=
1 |
2 |
1 |
2 |
5 |
8 |
7 |
2 |
即y与x的函数解析式为:y=
5 |
8 |
7 |
2 |
(3)分两种情况讨论:
①当∠EQD=90°时,显然有EQ=PC=4-x,又∵EQ∥AC,∴△EDQ∽△ADC
∴
EQ |
AC |
DQ |
DC |
即
4−x |
4 |
1.25x−2 |
3 |
②当∠QED=90°时,
∵∠CDA=∠EDQ,∠QED=∠C=90°∴△EDQ∽△CDA
∴
DQ |
DA |
Rt△EDQ斜边上的高 |
Rt△CDA斜边上的高 |
Rt△EDQ斜边上的高:4-x,
Rt△CDA斜边上的高为:
12 |
5 |
∴
1.25x−2 |
5 |
5(4−x) |
12 |
解得x=3.1.
综上所述,当x为2.5秒或3.1秒时,△EDQ为直角三角形.…(12分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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