题目

宇宙间存在一些离其他恒星较远的,由质量相等的四颗星组成的四星系统,通常忽略其他星体对他们的引力作用.已经观测到稳定的四颗星系统存在着一种基本的构成形式是:三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行,第四颗星位于原形轨道的圆心处,已知原形轨道的半径为R,每颗星体的质量均为m．
求：1）中心星体受到其他三星体的引力值．
2）三星体沿圆形轨道运动的线速度和周期
为什么引力值为0？

提问时间：2021-01-23

答案

（1）如图2所示,两颗星对一颗星（边上的）的万有引力提供向心力,则Gm^2/R+Gm^2/4R=mv^2/R
解得v=根号下（5Gm/4R）①
周期T=2πR/v,将①式代入得T=4π根号下（R^3/5Gm）②
（2）如图3所示,设星体之间的距离为a,a即为三角形的边长.则圆周运动的半径为
r=2/3×根号3/2*a=根号3/3*a③
任两星对第3星的万有引力的合力为
F=Gm^2/a^2根号3/2×2=根号3Gm^2/a^2④
每个星做圆周运动的向心力为F=m4π^2/T^2*r⑤
向心力由万有引力提供,以上④⑤两式相等,并将③式代入,解出 a=3根号（3GmT^2/4π^2）⑥
将②式T值代入得a=3根号（12/5）*R
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