题目

锐角三角形ABC的三边长满足不等式AB＜AC＜BC，如果I为△ABC的内心，O为外心，求证：直线IO与线段AB及BC相交．

提问时间：2021-01-20

答案

连接AO、CO并延长分别交对边于D、E，
∵∠AOC=2∠B，
∴∠OAC=90°-∠B＜90°-∠C（∠A＞∠B＞∠C），
但90°-∠B+90°-∠C=∠A，从而∠OAC＜

1

2

∠A，
即I在∠BAD内部．
又∵∠ACO=90°-∠B＞90°-∠A，
同理有∠OCA＞

1

2

∠C．
∴I在∠ACE内部，即I在△AOE内，
从而IO与线段AB及BC相交．