题目

已知M是△ABC内的一点，且

AB

•

AC

＝2

3

，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为

1

2

，x，y，则

1

x

+

4

y

的最小值为______．

提问时间：2021-01-20

答案

由已知得

AB

•

AC

=bccos∠BAC=2

3

⇒bc=4，
故S_△ABC=x+y+

1

2

=

1

2

bcsinA=1⇒x+y=

1

2

，
而

1

x

+

4

y

=2（

1

x

+

4

y

）×（x+y）
=2（5+

y

x

+

4x

y

）≥2（5+2

y x × 4x y

）=18，
故答案为：18．

利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把

1

x

+

4

y

转化成2（

1

x

+

4

y

）×（x+y），利用基本不等式求得

1

x

+

4

y

的最小值．

本题考点：基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用．

考点点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+

b

x

的形式．