题目
已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.
(Ⅰ)求圆C的圆心轨迹L的方程;
(Ⅱ)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程;
(Ⅲ)试探究轨迹Q上是否存在点B(x1,y1),使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
(Ⅰ)求圆C的圆心轨迹L的方程;
(Ⅱ)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程;
(Ⅲ)试探究轨迹Q上是否存在点B(x1,y1),使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
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提问时间:2021-01-20
答案
(Ⅰ)两圆半径都为1,两圆心分别为C1(0,-4)、C2(0,2),
由题意得CC1=CC2,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率等于零,故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线方程为y=-1,即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1. (4分)
(Ⅱ)因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,
故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,
∴
=1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x2=4y; (8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)得y=
x2,y′=
x,所以过点B的切线的斜率为k=
x1,
设切线方程为y−y1=
x1(x−x1),
令x=0得y=−
x12+y1,令y=0得x=−
+x1,
因为点B在x2=4y上,所以y1=
x12,
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=
|
x12||
x1|=
|x13|
设S=
,即
|x13|=
得|x1|=2,所以x1=±2
当x1=2时,y1=1,当x1=-2时,y1=1,所以点B的坐标为(2,1)或(-2,1).(14分)
由题意得CC1=CC2,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率等于零,故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线方程为y=-1,即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1. (4分)
(Ⅱ)因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,
故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,
∴
p |
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(Ⅲ)由(Ⅱ)得y=
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设切线方程为y−y1=
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令x=0得y=−
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2y1 |
x1 |
因为点B在x2=4y上,所以y1=
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所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=
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设S=
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当x1=2时,y1=1,当x1=-2时,y1=1,所以点B的坐标为(2,1)或(-2,1).(14分)
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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