题目

问三个关于函数对称和周期性问题
1.奇函数f(x)=f(2-x),它的周期怎么算?我怎么觉得是关于x=1对称,不是周期函数啊?
2.函数f(x+1)=f(x-1)都是奇函数,为什么f(x+3)也是奇函数,请给出证明
3.还有关于x=a对称的函数是不是可以写成f(x-a)=f(x+a)

提问时间：2021-01-20

答案

答：1、因为奇函数f(x)=f(2-x),所以f(x-2)=-f(2-x)=-f(x)
f(x+4)=-f((x+4)-2)=-f(x+2)=f((x+2)-2)=f(x)
所以f(x)是周期函数,4为f(x)的一个周期.
考察f(x+4k)(k=1,2,…）,反复运用f(x+4)=f(x),可得
f(x+4k)=f(x+4(k-1))=f(x+4(k-2))=…=f(x+4)=f(x)
考察f(x+4k)(k=-1,-2,…）.由于-4k>0是f(x)的周期,则
f(x+4k)=f(x+4k-4k)=f(x)
所以,T=4k(k为整数,k≠0)是f(x)的周期,最小正周期为4.
2、因为函数f(x+1)=f(x-1)都是奇函数
f(x+3)=f((x+2)+1)=f((x+2)-1)=f(x+1)
所以,f(x+3)也是奇函数.
3、根据题意,设y=f(x)关于x=a对称,则
f(a-x)=f(a+x)
但不能写成f(x-a)=f(x+a)
设x=2a,则得f(a)=f(3a),f(x)关于x=a对称得不出这个结论.
如：f(x)=(x-a)^2是关于x=a对称的函数,设a=1,则f(1)=0,f(3)=4,f(1)≠f(3).