题目
已知函数f(x)是一次函数,且f(8)=15f(2),f(5)f(14)成等比数列,设an=f(n),(n∈N*)
(1)求Tn=a1+a2+a3+…+an.
(2)设bn=2n,求数列{anbn}的前n项和Sn.
(1)求Tn=a1+a2+a3+…+an.
(2)设bn=2n,求数列{anbn}的前n项和Sn.
提问时间:2021-01-20
答案
(1)设f(x)=ax+b,(a≠0),
由f(8)=15f(2),f(5),f(14)成等比数列得8a+b=15①,
f2(5)=f(2)•f(14)得(5a+b)2=(2a+b)(14a+b)得到:3a2+6ab=0,
∵a≠0,
∴a=-2b②,
由①②得a=2,b=-1,
∴f(x)=2x-1,
∴an=2n-1,显然数列{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列
∴
ai═a1+a2+…+an=
=n2.
(2)∵anbn=(2n-1)•2n∴sn=a1b1+a2b2+…+anbn=2+3•22+5•23+…+(2n-1)•2n
2sn=22+3•23+5•24+…+(2n-3)•2n+(2n-1)2n+1
-sn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)•2n+1=2+23•(2n-1-1)-(2n-1)2n+1
∴sn=(2n-3)•2n+1+6
由f(8)=15f(2),f(5),f(14)成等比数列得8a+b=15①,
f2(5)=f(2)•f(14)得(5a+b)2=(2a+b)(14a+b)得到:3a2+6ab=0,
∵a≠0,
∴a=-2b②,
由①②得a=2,b=-1,
∴f(x)=2x-1,
∴an=2n-1,显然数列{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列
∴
n | ||
|
n(1+2n−1) |
2 |
(2)∵anbn=(2n-1)•2n∴sn=a1b1+a2b2+…+anbn=2+3•22+5•23+…+(2n-1)•2n
2sn=22+3•23+5•24+…+(2n-3)•2n+(2n-1)2n+1
-sn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)•2n+1=2+23•(2n-1-1)-(2n-1)2n+1
∴sn=(2n-3)•2n+1+6
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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