题目

高一数学必修1的练习
等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且BD=1/3BC,CE=1/3CA,AD,BE相交于点P,求证：AP垂直CP

提问时间：2021-01-20

答案

连结DE
则三角形EDC为直角三角形 且再证三角形ABD全等于三角形BEC
从而得到所以PDEC四点共圆
所以所以所以AP垂直于CP
取AB上一点F,使3AF=AB,这样就形成了十分对称的图形,
设BE与CF交于M,AD与CF交于N.
第一步,
∠PNM=∠PAC+∠FCA=∠PAC+∠BAD=∠BAC=60度.
第二步,
过F作FG//AC交BE于G,
则GM/ME=FM/MC=FG/EC=FG/[(1/2)AE]=4/3,
又FG/AE=BG/BE=2/3,
所以BM/ME=[2+(4/7)]/[1-(4/7)]=6,
即BM=6ME.
又BP/PE=MC/MF=3/4,
所以容易得BP:PM:ME=3:3:1,
根据图形的对称性,得CM:MN:NF=3:3:1,
并且MN=PN,
所以PN:NC=3:(3+3)=1:2,
又∠PNC=60度,
所以可以得到∠APC=90度.
即AP⊥PC.