题目
已知:等腰直角三角形ABC中,AB=AC,D是AC的中点,过A作AE⊥BD交BC与点E,垂足为F,连接DE.
求证:∠ADB=∠CDE
求证:∠ADB=∠CDE
提问时间:2021-01-20
答案
分析:∵∠ADB是Rt△ABD的内角,也是Rt△ADF的内角,则∠CDE也应在某个直角三角形中,由此可联想作辅助线,过点C作CG⊥AC交AE延长线于G,由条件可得Rt△ABD≌Rt△CAG,△CDE≌△CGE,则∠ADB=∠G,∠G=∠CDE,∴∠ADB=∠CDE
证明:过点C作CG⊥AC交AE延长线于G
∵BA⊥AC,CG⊥AC
∴CG‖AB
∴∠ABC=∠BCG(两直线平行,内错角相等)
∵∠BAD=90°,AF⊥BD
∴∠ABD=∠CAG(同角的余角相等)
在Rt△ABD与Rt△CAG中
∴∠ABD=∠CAG
AB=CA
∠BAD=∠ACG
∴Rt△ABD≌Rt△CAG(ASA)
∴AD=CG(全等三角形对应边相等)
∠ADB=∠CGA(全等三角形对应角相等)
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)
∴∠ACB=∠BCG(等量代换)
∵AD=DC,AD=CG
∴CD=CG(等量代换)
在△DCE与△GCE中
CD=CG
∠BCE=∠GCE
CE=CE
∴△CDE≌△CGE(SAS)
∴∠CDE=∠CGE(全等三角形对应角相等)
∴∠ADB=∠CDE(等量代换)
证明:过点C作CG⊥AC交AE延长线于G
∵BA⊥AC,CG⊥AC
∴CG‖AB
∴∠ABC=∠BCG(两直线平行,内错角相等)
∵∠BAD=90°,AF⊥BD
∴∠ABD=∠CAG(同角的余角相等)
在Rt△ABD与Rt△CAG中
∴∠ABD=∠CAG
AB=CA
∠BAD=∠ACG
∴Rt△ABD≌Rt△CAG(ASA)
∴AD=CG(全等三角形对应边相等)
∠ADB=∠CGA(全等三角形对应角相等)
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)
∴∠ACB=∠BCG(等量代换)
∵AD=DC,AD=CG
∴CD=CG(等量代换)
在△DCE与△GCE中
CD=CG
∠BCE=∠GCE
CE=CE
∴△CDE≌△CGE(SAS)
∴∠CDE=∠CGE(全等三角形对应角相等)
∴∠ADB=∠CDE(等量代换)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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