题目

直线l交椭圆4x²+5y²=80于M、N两点，椭圆的上顶点为B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是（　　）
A. 5x+6y-28=0
B. 5x-6y-28=0
C. 6x+5y-28=0
D. 6x-5y-28=0

提问时间：2021-01-19

答案

设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），MN的中点为G，MN的方程为y=kx+b，
而B（0，4），又△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点（2，0）上，
故x₁+x₂=6，y₁+y₂=-4，则MN的中点G为（3，-2），
又M、N在椭圆上，

4x12+5y12=80 ;① 4x22+5y22=80 ;②

①-②，可得4（x₁-x₂）（x₁+x₂）+5（y₁-y₂）（y₁+y₂）=80，
又由x₁+x₂=6，y₁+y₂=-4，
可得k=

y1-y2

x1-x2

=

6

5

，
又由直线MN过点G（3，-2），则直线l的方程是6x-5y-28=0．
故选D

设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），B（0，4），右焦点F（2，0），由三角形的重心公式可得x₁+x₂=6，y₁+y₂=-4，再由A、B在椭圆上，代入可求直线的方程

本题考点：直线与圆相交的性质．

考点点评：本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系、三角形的重心坐标公式、属于对基本概念及基本方法的考查．