题目

已知a，b，c为整数，且a²+b²+c²+48＜4a+6b+12c，则(

1

a

+

1

b

+

1

c

)abc的值为______．

提问时间：2021-01-19

答案

∵a，b，c为整数，
∴a²+b²+c²+48≥48，
∴原不等式两边均为正整数，
∴不等式a²+b²+c²+48＜4a+6b+12c⇔a²+b²+c²+48+1≤4a+6b+12c，
∴（a-2）²+（b-3）²+（c-6）²≤0，
∴

a−2＝0 b−3＝0 c−6＝0

，
解得，

a＝2 b＝3 c＝6

，
∴(

1

a

+

1

b

+

1

c

)abc=1；
故答案是：1．

根据已知条件将已知不等式转化为a²+b²+c²+48+1≤4a+6b+12c，然后将其转化为偶次方的形式；最后根据几个非负数的和是零，那么每一个非负数均为零的性质求得a、b、c的值．即可求得(

1

a

+

1

b

+

1

c

)abc的值．

本题考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方．

考点点评：本题考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方．将等式与不等式对应转化，是转化数学问题常用的、有效的手段．