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题目
在三角形ABC中,∠ABC=60度,∠BAC=90度,AD是BC上的高,沿AD把三角形ABD折起,使∠BDC=90度.
设E为BC的中点,求向量AE与向量DB夹角的余弦值

提问时间:2021-01-18

答案
在原△ABC中,令AB=x.
∵∠BAC=90°、∠ABC=60°、AB=x,∴BC=2x、AC=√3x.
∵AD⊥BC,∴由三角形面积公式,容易得到:AD×BC=AB×AC,∴AD=AB×AC/BC=√3x/2,
∴BD=AB/2=x/2,CD=BC-BD=2x-x/2=3x/2.
在三棱锥C-ABD中:
过E作EF∥BD交CD于F.
∵EF∥BD、E是BC的中点,∴F是CD的中点,∴DF=CD/2=3x/4.
由勾股定理,有:AF=√(AD^2+DF^2)=√(3x^2/4+9x^2/16)=√21x/4.
∵E、F是△BCD的中位线,∴EF=BD/2=x/4.
∵BD⊥CD、BD⊥AD,∴BD⊥平面ACD,而AF在平面ACD上,∴BD⊥AF,∴EF⊥AF,
∴tan∠AEF=AF/EF=(√21x/4)/(x/4)=√21,
∴cos∠AEF=√{(cos∠AEF)^2/[(sin∠AEF)^2+(cos∠AEF)^2]}
=√{1/[1+(tan∠AEF)^2]}=√[1/(1+21)]=√22/22,
∴cos(180°-∠AEF)=-cos∠AEF=-√22/22.
∵EF∥BD,∴向量AE与向量DB的夹角=180°-∠AEF,
∴向量AE与向量DB夹角的余弦值为-√22/22.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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