题目

变限积分求道问题
对函数 f(t+h)-f(t-h)
在[-h,h]上的积分对h求导.
F(h)=∫[-h,h]f(t+h)-f(t-h)dt
(其中[-h,h]为积分区间,-h为下限,h为上限)
参考答案中：
∫[-h,h]f(t+h)dt = ∫[0,2h]f(u)du (做代换u=t+h)
∫[-h,h]f(t+h)dt = ∫[-2h,0]f(u)du (做代换u=t-h)
所以F(h)=∫[-h,h]f(t+h)-f(t-h)dt
=∫[-h,h]f(t+h)dt - ∫[-h,h]f(t+h)dt
=∫[0,2h]f(u)du - ∫[-2h,0]f(u)du
求导F'(h)=2f(2h) - 2f(-2h)
我的解法：直接求导
F'(h)=f(h+h)-f(h-h) + f(-h+h)-f(-h-h)
(上限部分 ) (下限部分 )
=f(2h) - f(-2h)
正好和参考答案的差了2倍
原题为求 F(h)/(h^2) 取 h->0 的极限（已知 f(0)=-2）
错在哪里.为什么不能这样求?

提问时间：2021-01-18

答案

F'(h)=d/dh∫[-h,h]f(t+h)dt-d/dh∫[-h,h]f(t-h)dt
=d/dh∫[0,2h]f(u)du-d/dh∫[-2h,0]f(u)du
=2f(2h)-2f(-2h)
本题因为是对h求导,应将h用另一变量代换,这样才能得出正确的答案,望采纳,谢谢.