题目

如果一动圆P与两圆O:x^2+y^2=1和O【1】：x^2+Y^2-8x+7=0均内切,那么动圆P的圆心的轨迹是
双曲线的一支
（为什么不是双曲线而是双曲线的一支?）

提问时间：2021-01-18

答案

圆O的圆心是（0,0）,半径是1
圆O1的圆心是（4.0）,半径是3
设P为（x,y)
根据内切的定义,半径之差等于圆心距
根号（x^2+y^2)+1=根号[(x-4)^2+y^2]+3
即根号（x^2+y^2)=根号[(x-4)^2+y^2]+2
两边平方后整理得
根号[(x-4)^2+y^2]=2x-3
因为根号[(x-4)^2+y^2]不可能为负数,所以2x-3>=0,
所以x>=1.5
所以图像只能是双曲线的一支（右半支）
在等式的变形中用到了两边平方,会产生增根,要根据实际情况再取舍.不能完全依赖于代数计算.