如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面 - 超级试练试题库

题目

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．

（1）求证：BE∥平面PDF；
（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求二面角P-BC-A的大小．

提问时间：2021-01-18

答案

证明：（1）取PD的中点M，
∵E是PC的中点
∴ME是△PCD的中位线
∴ME∥FB
∴四边形MEBF是平行四边形∴BE∥MF
∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF
∴BE∥平面PDF．
（2）连接BD，易得△ABD为等边三角形
又由F为AB的中点
∴DF⊥AB
又∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DF
又由PA∩AB=A
∴DF⊥平面PAB
又∵DF⊂平面PDF
∴平面PDF⊥平面PAB．
（3）过点A做AH⊥CB延长线于H，因为PA⊥面ABCD，所以PH⊥BC，既∠PHA为二面角P-BC-A的平面角，
在Rt△ABC中PA＝1，AH＝

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