题目

在关于x的一元二次方程a（1-x²）-√8bx+c(1+x²)中,abc是直角三角形的三条边,角c=90度.
如果这个方程的2根为x1,x2,且x1²+x2²=12,求a∶b∶c
√8bx 中bx不在根号内

提问时间：2021-01-18

答案

abc是直角三角形的三条边,角c=90度,故a²+b²=c²
a（1-x²）-√8bx+c(1+x²)=(c-a)x²-√8bx+a+c=0
所以有x1+x2=√8b/(c-a) x1x2=(a+c)/(c-a）
故有,x1²+x2²=（x1+x2)²-2x1x2=(√8b/(c-a))²-2(a+c)/(a-c)
=8b²/(c-a)²-2(c²-a²)/(c-a)²=6b²/(c-a)²=12
故有b²=2(c-a)²,c²-a²=2(c-a)²则c²-4ac+3a²=0即
（c-3a）（c-a）=0,故只有c=3a,带入b²=2(c-a)²有√8a=b
所以有a∶b∶c =1∶√8∶3