题目

已知函数f（x）=（x²+ax+2）e^x，（x，a∈R）．
（1）当a=0时，求函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在R上单调，求a的取值范围；
（3）当a＝−

5

2

时，求函数f（x）的极小值．

提问时间：2021-01-18

答案

f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]，
（1）当a=0时，f（x）=（x²+2）e^x，f'（x）=e^x（x²+2x+2），
f（1）=3e，f'（1）=5e，
∴函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线方程为y-3e=5e（x-1），
即5ex-y-2e=0
（2）f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]，，
考虑到e^x＞0恒成立且x²系数为正，
∴f（x）在R上单调等价x²+（a+2）x+a+2≥0恒成立．
∴（a+2）²-4（a+2）≤0，
∴-2≤a≤2，即a的取值范围是[-2，2]，
（3）当a=-

5

2

时，f（x）=（x²-

5

2

x+2）e^x，f'（x）=e^x（x²-

1

2

x-

1

2

），
令f'（x）=0，得x=-

1

2

，或x=1，
令f'（x）＞0，得x＜-

1

2

，或x＞1，
令f'（x）＜0，得-

1

2

＜x＜1
x，f'（x），f（x）的变化情况如下表

X	（-∞，- 1 2 ）	- 1 2	（- 1 2 ，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

所以函数f（x）的极小值为f（1）=

1

2

e

（1）先求出函数f（x）的导函数，求出切点坐标，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可；
（2）若f（x）在R上单调，则f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]＞0恒成立，考虑到e^x＞0恒成立且x²系数为正，从而等价x²+（a+2）x+a+2≥0恒成立，利用判别式建立关系式，即可求出所求；
（3）先求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值即可．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的极值和恒成立问题，同时考查了计算能力、转化与划归的思想，属于综合题．