题目

已知方程（x²-mx+2）（x²-nx+2）=0的四个根组成一个首项为

1

2

的等比数列，则|m-n|=（　　）
A. 1
B.

3

2

C.

5

2

D.

9

2

提问时间：2021-01-18

答案

设这四个根为x₁，x₂，x₃，x₄，公比为p其所有可能的值为

1

2

，

1

2

p，

1

2

p2，

1

2

p3，
由

x1x2＝2 x3x4＝2

得x₁x₂x₃x₄=4，
即

1

2

•

1

2

p•

1

2

p2•

1

2

p3＝4，
则p⁶=64⇒p=±2．
当p=2时，四个根为

1

2

，1，2，4，且

1

2

，4为一组，1，2为一组，
则

1

2

+4=m，1+2=n，
则|m−n|＝

3

2

；
当p=-2时，不存在任两根使得x₁x₂=2，或x₃x₄=2，∴p=-2舍去．
故选B．

首先设出四个根和公比p，然后根据韦达定理得出由

x1x2＝2 x3x4＝2

得x₁x₂x₃x₄=4，进而得出p=±2，然后分情况求出四根，得出结果．

本题考点：等比数列的性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评：本题主要考查了等比数列的性质，解题的关键是运用了韦达定理求出公比，属于中档题..