题目

把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D₁CE₁（如图乙）．这时AB与CD₁相交于点O，与D₁E₁相交于点F．
（1）求∠OFE₁的度数；
（2）求线段AD₁的长；
（3）若把三角形D₁CE₁绕着点C顺时针再旋转30°得△D₂CE₂，这时点B在△D₂CE₂的内部，外部，还是边上？证明你的判断．

提问时间：2021-01-18

答案

（1）如图所示，∠3=15°，∠E₁=90°，
∴∠1=∠2=75°，
又∵∠B=45°，
∴∠OFE₁=∠B+∠1=45°+75°=120°；
（2）∵∠OFE₁=120°，
∴∠D₁FO=60°，
∵∠CD₁E₁=30°，
∴∠4=90°，
又∵AC=BC，∠A=45°
即△ABC是等腰直角三角形．
∴OA=OB=

1

2

AB=3cm，
∵∠ACB=90°，
∴CO=

1

2

AB=

1

2

×6=3cm，
又∵CD₁=7cm，
∴OD₁=CD₁-OC=7-3=4cm，
在Rt△AD₁O中，AD1=

OA2+OD12

=

32+42

=5cm；
（3）点B在△D₂CE₂内部，
理由如下：设BC（或延长线）交D₂E₂于点P
则∠PCE₂=15°+30°=45°，
在Rt△PCE₂中，CP=

2

CE₂=

7 2

2

，
∵CB=3

2

<

7 2

2

，即CB<CP，
∴点B在△D₂CE₂内部．

（1）根据OFE₁=∠B+∠1，易得∠OFE₁的度数；
（2）在Rt△AD₁O中根据勾股定理就可以求得AD₁的长；
（3）设BC（或延长线）交D₂E₂于点P，Rt△PCE₂是等腰直角三角形，就可以求出CB的长，判断B在△D₂CE₂内．

本题考点：旋转的性质；勾股定理；等腰直角三角形．

考点点评：本题主要考查了图形旋转的性质，正确认识旋转角，理解旋转的概念是解题的关键．