题目

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a>b>0）的上顶点坐标为（0，

3

），离心率为

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点，A为左顶点，F为椭圆的右焦点，求

AP

•

FP

的取值范围．

提问时间：2021-01-18

答案

（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a>b>0)，
由已知b=

3

， 

c

a

=

1

2

，
所以a=2， b=

3

， c=1，
得椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设P（x，y），
又A（-2，0），F（1，0），则

PA

=(-2-x，-y)，

PF

=(1-x，-y)，
∴

PA

•

PF

=(-2-x，-y)•(1-x，-y)=(x+2)(x-1)+y2
=x2+x-2+y2=

1

4

x2+x+1(-2≤x≤2)．
当x=0时，取得最小值0，当x=2时，取得最大值4，
∴

PA

•

PF

∈[0，4]

（I）根据已知条件分别求出a，b，c的值，从而确定椭圆方程．
（II）根据题意，设P（x，y）根据椭圆的方程，易得A₁、F₂的坐标，将其代入

PA

•

PF

中，可得关于x、y的关系式，结合双曲线的方程，可得

PA

•

PF

=

1

4

x²+x+1，由x的范围，可得答案．

本题考点：椭圆的标准方程；二次函数在闭区间上的最值；平面向量数量积的运算．

考点点评：本题考查椭圆方程的应用、平面向量数量积的运算等，涉及最值问题．最值问题解题的思路是先设出变量，表示出要求的表达式，结合圆锥曲线的方程，将其转化为只含一个变量的关系式，进而由不等式的性质或函数的最值进行计算．