题目

是否存在角α,β,α∈（-π/2,π/2),β∈(0,π),使等式sin（5π-α）=√2cos（π/2-β),
√3cos(2π-α)=-√2cos（3π+β),同时成立?若存在请求出α,β

提问时间：2021-01-18

答案

等式sin(3π-α)=√2cos(π+β)可化为：sinα=-√2cosβ
等式√3sin(5π/2+α)=—√2cos(π+β)可化为：√3cosα=√2cosβ
若等式sin(3π-α)=√2cos(π+β),√3sin(5π/2+α)=—√2cos(π+β)同时成立
则有sinα=-√2cosβ,√3cosα=√2cosβ
所以sinα=-√3cosα即tanα=sinα/cosα=-√3
因为α∈（－π/2,π/2）,所以可解得α=-π/3
此时有sinα=sin(-π/3)=-√3/2
则-√2cosβ=-√3/2
可得；cosβ=√6/4
因为β∈（0,π）,所以解得β=arccos(√6/4)
这就是说存在α=-π/3且β=arccos(√6/4),使得等式sin(3π-α)=√2cos(π+β),√3sin(5π/2+α)=—√2cos(π+β)同时成立.