题目

初三上四组数学题.急!
1、已知关于x、y的方程组{y2-4x=y+2 y-mx=2 有一个实数解.求m
2、已知方程组{x2+y2-2x=0 kx-y-k=0
（1）求证：不论为何实数时,方程组总有两个不同的实数解
（2）设方程组两个不同的实数解为{x=a y=b {x=a' y=b'
求证：（a-a')2+(b-b')2是一个常数
3、已知三角形ABC的三边为a,b,c.方程x2+2(a+c-b)x+2ac-b2=0有两个相等的实数根
（1）求证：三角形ABC是等边三角形
（2）若方程2x2+2k(a+c)+2ack2+5k-6=o有两个不相等的实数根,求k
4、设a、b、c为实数.求证：(b-2a+c)2大于等于3(a-2b+c)(a-c)

提问时间：2021-01-17

答案

1.把2个方程联立消y,得：m2x2+4mx-4x-mx=0
m2x2+(3m-4)x=0
因为有一个实数解,所以△=(3m-4)2=0
得m=4/3.
2.（1）证明：先把2个方程联立消y,得：（k2+1)x2 -(2k2+2)x + k2=0
△=(2k2+2)2-4k2(k2+1)
=4k2+4>0恒成立（因为k2≥0,再+4就>0）
所以方程组总有2个不同的实数根
（2）证明：由（1）问中得到的方程（k2+1)x2 -(2k2+2)x + k2=0,
用韦达定理,求x1+x2=(2k2+2)/(k2+1)=2
x1*x2=(k2)/(k2+1)
（a-a')2其实就是（x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4/(k2+1)
(过程自己化简）
原题有方程：kx-y-k=0,y=kx-k
y1+y2=kx1-k+kx2-k=k(x1+x2)-2k=2k-2k=0 (前面已算出x1+x2=2)
y1*y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2(x1x2-(x1+x2)+1)=(-k2)/(k2+1)
(b-b')2其实就是(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=0-(-4k2)/(k2+1)
=(4k2)/(k2+1)
（a-a')2+(b-b')2=4/(k2+1) + (4k2)/(k2+1) = 4
3.（1）求证：因为方程x2+2(a+c-b)x+2ac-b2=0有两个相等的实数根
所以有△=4a2-8ab+4c2-8bc+4b2+4b2=4(a-b)2 +4(b-c)2=0
得：a=b,b=c
所以a=b=c
所以三角形ABC是等边三角形
（2）因为2x2+2k(a+c)+2ack2+5k-6=o有2个不相等的实数根
令a=c=1,得2x2+4k+2k2+5k-6=0
所以有△=0-8(2k2+9k-6)>0
化简得：2k2+9k-6